知识概括
（一）三点共线的常用说明方法
证明A，B，C三点共线，只需证明直线BC经过点A或直线CA经过点B或直线AB经过点C.具体方法有如果下几种：
（1）平角定义：如果点A、B、C满足∠ABC=180°，则A、B、C三点共线；
如图，如果∠ABD+∠DBC=∠ABC=180°，则A，B，C三点共线.
（2）两点之间线段最短：如果点A、B、C满足AB+BC=AC，则A、B、C三点共线；
（3）平行公理：如果点A、B、C构成的三条直线AB、BC、AC中有两条都和直线a平行，则A、B、C三点共线；
如图，如果AB//a，BC//a，则A，B，C三点共线；如果AB//a，AC//a，则A，B，C三点共线；如果BC//a，AC//a，则A，B，C三点共线；
（4）垂线公理：如果点A、B、C构成的三条直线AB、BC、AC中有两条都和直线a垂直，则A、B、C三点共线；
如图，如果AB⊥/a，BC⊥a，则A，B，C三点共线；如果AB⊥a，AC⊥a，则A，B，C三点共线；如果BC⊥a，AC⊥a，则A，B，C三点共线；
（5）对顶角逆定理：如图，已知O是直线CD上的点，A，B是直线CD两侧的点，如果∠AOD=∠BOC（或∠AOC=∠BOD），则A、O、B三点共线.
（二）三线共点的说明方法
证明直线AB，BC，DE相交于一点，先设其中两条相交于点O，再证第三条也经过点O.具体方法有如下两种：
（1）三角形中的“四线”：三角形的三条中线、三条角平分线、三条高、三边的三条垂直平分线分别共点；
（2）转化为三点共线进行证明：设其中两条相交于点O，证明第三条直线上有两点A，B与点O三点共线，则三条直线相交于一点.
（3）证明直线a，b，c三线共点，先设其中两条a，b相交于点O，再证第三条直线c经过点O；
（4）证明直线a，b，c三线共点，先设其中两条a，b相交于点O，再证第经过点O的第三条直线具有c的特征；
（三）坐标系中的三点共线与三线共点说明方法
（1）证明A、B、C三点共线，只需证明直线AB和BC是同一条直线；
（2）证明直线AB、CD、EF相交于同一个点，只需先求其中两条的交点，然后说明该交点在第三条直线上即可.
巩固练习
1.如图，四边形ABCD中，AB=AD，E是BD的中点，∠CBD=∠CDB，求证：A、E、C三点共线.
2.如图，平行四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且AE=CF，求证：直线EF，AC，BD相交于同一点.
3.¨ABCD中，点E是BD边上的动点，连接AE，将△AED平移到△BGC的位置（点A，E，D的对应点分别为点B，G，C），△ABE平移到△DCF的位置（点A，B，E的对应点分别为D，C，F），求证：G，C，F三点共线.
4.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，D是AB上的点，AD=4，将△ACD绕点C逆时针旋转90°，得△A/CD/，求证：A/，D/，D三点共线.
5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE，当点E恰好落在线段AB上时，连接AD，∠ABD的平分线BF交AD于点F.求证：C、E、F三点共线.
6.如图，在△ABC中，点E、D分别是AB边上的三等分点，CD⊥AB于点D，点P是AC边上的动点，连接PE、EC，作△PCE关于AC的轴对称图形△PCF，如果AP·AC=AE·AB，求证：B、P、F三点共线.
7（2020•福建）如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，AC，BD相交于点P，AB，CD的中点分别为M，N，求证：M，P，N三点在同一条直线上．
8（2021福建）如图，已知线段MN=a，AR⊥AK，垂足为A.
（1）求作：四边形ABCD，使点B，D分别在AK，AR上，且AB=BC=a，∠ABC=60°，CD//AB（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）设点P，Q分别是（1）中四边形AB，CD的中点，求证：直线AD，PQ，BC相交于一点.
9.如图，四边形ABCD中，AD//BC，M，N分别是AD，BC的中点，
（1）求证：直线MN、AC、BD相交于一点；
（2）判断直线AB，CD和MN是否也相交于一点？
10.如图，△ABC中，D是BC的中点，E，F分别在AB，AC上，且EF//BC，求证：直线AD，BF，CE相交于同一点.
11.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD//BC，E、F分别是AB、DC的中点，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BD、AC的中点，求证：
（1）M、O、N三点共线；
（2）E、F、P、Q四点共线；
12.如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是△ABC内一点，∠ADC=135°，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE.
（1）求∠CDE的度数，并说明A，D，E三点是否共线？
（2）作CM⊥DE于M，判断AE，CM，BE之间的数量关系，并说明理由.
13.如图，点D是等腰直角三角形ABC内一点.将△ADC绕点C顺时针旋转90°得到△BEC，点D的对应点为点E.
（1）求作△BEC（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若AD：CD：BD=1：2：3，求证：A，D，E三点共线；
（3）若A，D，E三点共线，AD，CD，BD满足什么样的关系？
14.如图，AC是矩形ABCD的对角线，把△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到△AEF，点C的对应点F落在CD延长线上，求证：
（1）∠EAF=∠AFD；
（2）B，D，E三点在同一条直线上.
15.如图，已知点A，C分别是∠B两边上的定点，点M是线段BC的中点，连接AM.
（1）求作△CDM，使得△CDM≌△BAM，点D在点C的右侧；（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，设P，Q分别是线段AB，CD的中点，求证：直线AD，BC，PQ相交于同一点.
16.如图，等边△ABC中，D为AB边上一点（点D不与点A、B重合），连接CD，将CD平移到BE（其中点B和C对应），将△BCD绕着点B逆时针旋转至△BAF，求证：D、F、E三点共线.
17.如图，矩形ABCD中，E是BC上的动点，延长EB到F，使BF=BE，G为AD的中点，求证：直线AE，BG，DF三线共点.
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°<α<60°）得到Rt△DBE，连接AD，点F为AD的中点，求证：点E在直线CF上.
19.如图，菱形ABCD中，∠B=60°，P是BC延长线上一点，连接AP.
（1）在线段AP求作点M，使得∠AMC=120°（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，求证：直线AB，CM，PD相交于同一点.
20.平面直角坐标系xOy中，A（m，0），B（a，b），D（-a，0），且0<m<a<b，过点A作直线AC交y轴正半轴于点C，且∠OAC=60°，连接AB，BC，CD，AC平分∠BAD，BC⊥AC，过点B作直线l⊥x轴，垂足为M.
（1）求m与a之间的等量关系；
（2）求证：直线BD经过点C；
（3）设点Q是直线l上一点，连接AQ，若AQ⊥AB，则
是否为定值？如果是，请求出这个值；如果不是请说明理由.
21（2022三明质检）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，CD=BC．
（1）尺规作图：（保留作图痕迹，不写作法）
①求作⊙O，使得圆心O在AC上，⊙O经过A，D两点；
②在⊙O上求作点E，使得DE⊥AC；
（2）在（1）的条件下，设⊙O与AC的另一个交点为F．求证：直线BE经过点F．
21（2022泉州质检）经过点A（m，n），R（m-n，t），S（n-m，t）的抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，其中m≠n且m<0.
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）连接AO，作OB⊥OA，交抛物线于点B，AB交y轴于点F，
①求△AOB面积的最小值；
②取AB的中点G，作GC//y轴，交抛物线于点C，点G关于点C的对称点为D，过点B、D分别作x、y轴的垂线相交于点E，BD与EF相交于点M，。求证：点M必在x轴上.
